Qué son los sistemas dinámicos

Imagen de Henri Pincaré: See page for author [Public domain or Public domain], via Wikimedia Commons

Esta página, adscrita a la sección colombiana de la Society of Industrial an Applied Mathematics (COSIAM), busca vincular y crear un lazo entre todos aquellos que de alguna manera están vinculados a los sistemas dinámicos en Colombia. Siendo un trampolín para dar a conocer los trabajos de los investigadores en el área, los diferentes eventos que se organizan y las trayectorias de grupos y personas.

En términos históricos, podemos pensar en los sistemas dinámicos, como una rama de las matemáticas fundada por Henry Poincaré (1854 - 1912)¹, quien en sus estudios de las órbitas periódicas para problemas de tres cuerpos, concedió un brillante conjunto de herramientas, que hoy conocemos como teoría cualitativa de ecuaciones diferenciales.

En este contexto, Poincaré concebía un sistema dinámico, como un campo de vectores en el espacio fase y una solución como una curva tangente en cada punto a los vectores de dicho campo. Su mayor interés, que por aquel entonces eran los problemas de la mecánica celeste, fue la descripción del retrato fase, es decir, de todo el conjunto de soluciones, así como de la estabilidad de las soluciones, que para él consistían en el análisis cualitativo de los resultados.

Hoy, más de cien años después de la muerte de Poincaré, los sistemas dinámicos son una de las ramas de mayor actividad en el mundo de las matemáticas. Por sus diferentes caminos, han desfilado nombres como Arnold, Andronov, Birkhoff, Kolmogorov, Liapunov, Lorenz, Moser o Smale; por mencionar sólo algunos de los ilustres matemáticos que han nutrido con inmortales resultados a los sistemas dinámicos. Los cuales, hoy en día, explican un sinnúmero de fenómenos en diversas áreas del conocimiento, y desde luego, un gran número de problemas matemáticos. Para darnos una idea, con un sistema dinámico se puede explicar, desde el movimiento de un péndulo simple, hasta el movimiento planetario. Además de la amplia cobertura fenomenológica, aquellas primeras herramientas desarrolladas por Poincaré, hoy se han multiplicado, tanto que para nombrar algunas, tendríamos que ver con lupa un problema particular. Basta con mencionar que los sistemas dinámicos se nutren de ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales, geometría, topología, análisis, computación, probabilidad, etc.

En términos modernos, un sistema dinámico es una cuarteta {T, X, A, S}², donde T representa el conjunto sobre el que se mide el tiempo, X es un espacio métrico que representa los diferentes estados o movimientos del sistema, el espacio fase de Poincaré, A es un subconjunto de X que contiene el conjunto de condiciones iniciales y S representa el conjunto de posibles movimientos. Esta definición permite visualizar la clasificación estándar de los sistemas dinámicos. Estos son continuos cuando T está en los reales positivos, y discretos cuando T está en los naturales. Si la dimensión de X es finita, entonces el sistema dinámico es finito dimensional y si los cambios en el sistema son independientes de la variable en T, entonces los sistemas dinámicos son autónomos y de lo contrario no autónomos³.

1. A. Michel, H. Ling, D. Liu, Stability of Dynamical Systems Second edition, Birkhauser, 2015.
2. E. Lacomba, los sistemas dinámicos, que son y para qué sirven, misceláneas matemáticas 32, 2000.
3. M. Hirsch, S. Smale, R. Devaney, Differential equations, dynamical systems and introduction to chaos, third edition, Elsevier, 2014.